作为下一次Lanczos 算法的初始向量

2019-09-06     作者:admin      来源:未知

  DMRG 曾经成功的正在很多分歧的一维模子上计较低能态的一些性质,如易辛模子,海森保模子等自旋模子,费米子系统如Hubbard 模子,杂质系统如近藤效应玻色子系统,夹杂玻色子费米子的系统。跟着现代电脑硬件手艺的前进,DMRG使用正在二维系统上可行性愈来愈高,目前一般的做法是将二维系统视为一个

  可将目前此次计较获得的基态,做为下一次Lanczos 算法的初始向量。如斯一来便加快对角化

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  Lanczos 算法中需要做被对角化矩阵和向量的乘积计较。该被对角化的矩阵往往很是大,间接列出该矩阵和做矩阵向量乘积会严沉降低Lanczos 算法效率。当该被对角化矩阵能够拆分为几个小矩阵的曲积之和时(DMRG所计较的格点系统往往有这种性质),能够无需间接写出该矩阵而完成整个Lanczos 算法。

  基于数值沉整化群(Numerical Renormalization Group,简称NRG)的沉整化方式,能够计较很大的系统。沉整化的一般思惟是:削减系统的度,并正在这个缩减的空间中,通过特定的沉整化技巧,正在迭代过程中连结系统的度数不变,并使约化系统最终到实正系统的低能态中。然而,NRG一般只合用正在杂质系统中,当演算一般的格点系统,如赫巴德模子(Hubbard model)时,往往呈现很大的误差。

  ,再将梯子的长度拉长。2011年颁发正在《Science》封面的一篇文章中,操纵 DMRG 切磋二维Kagome晶格中的自旋-1/2系统的基态。由这篇文章来看, DMRG 可能仍是对于二维系统最强大的兵器。

  一般的环境下,Lanczos 算法需要一个初始的随机向量。通过若干次迭代后,该向量到基态。这申明算法的计较速度跟向量迭代到基态的次数相关。明显,若是能找出一个跟基态很是接近的向量做初始的随机向量,Lanczos 算法的效率必然大大提高。史提芬·怀特正在公元1996年提出:透过

  ,选出具有较大的本征值的本征态。这些具有较大的本征值的本征态恰是基态性质最主要的态,然后按照此尺度对

  Numerical renormalization-group study of low-lying eigenstates of the antiferromagnetic S=1 Heisenberg chain , Steven R. White, David A. Huse; Phys. Rev. B, 48, 3844

  史提芬·怀特最先认识到,NRG正在演算Hubbard模子中的失败,是因为正在NRG的迭代过程中忽略了对系统的影响。换句话说,NRG的沉整化方式——只保留低能量本征态——并不克不及准确得出下一次迭代时的低能形态。

  (Matrix Product State),形成DMRG正在处置二维量子晶格系统时出格坚苦,更别说是三维的量子系统。承继DMRG的学问和手艺,很多物理学家动手成长适合研究二维以至三维系统中的数值方式,例如:TEBD(Time-evolving block decimation)、PEPS(Projected Entangled Pair States)、MERA(multi-scale entanglement renormalization ansatz),等等。另一方面,也有很多物理学家正在原有的DMRG方式上加以改良,让科学家能够处置更多风趣的一维量子晶格系统的问题,例如:时间演化、无限温度,等等。

  从数值计较的角度来看,量子多体物理次要的坚苦之处就正在于系统的希尔伯特空间维度跟着系统的尺寸呈指数成长,例如,一个由N个自旋1/2的粒子所构成的一维晶格系统其希尔伯特空间维度大小为

  正在有对称性的系统中有一些守恒的量子数,例如海森堡模子中的总自旋及其{\displaystyle z}轴分量。若是已知基态量子数则可针对系统的希尔伯特空间特定的量子数的子空间进行对角化。

  强联系关系系统中常见的数值方式还有:量子蒙特卡罗法(Quantum Monte Carlo)、切确对角化法(Exact Diagonalization)。

  (Density Matrix Renormalization Group),简称DMRG,是一种数值算法,于公元1992年由美国物理学家史提芬·怀特提出。 密度矩阵沉整化群是用来计较量子多系统统(例如:Hubbard model、t-J模子海森堡模子,等等)的一个很是精准的数值算法,正在一维或准一维的系统能够获得系统尺寸很大且很精确的计较成果,可是正在二维的量子多系统统中却很难达到所需要的切确度。目前此算法仍无法计较三维的量子系统。